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By Demailly Jean-Pierre

Demailly J.-P. examine numerique et equations differentielles (EDP Sciences, 2006)(ISBN 286883891X)(fr)(345s)_MN_

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This quantity includes a collection of papers provided on the tenth and eleventh assembly of the organization for arithmetic of Language, held in l. a., CA, united states in July 2007 and in Bielefeld, Germany, in August 2009. the nineteen revised papers provided including three invited speeches have been conscientiously chosen from a variety of submissions.

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D´ emonstration. Soient x1 , . . , xk les z´eros distincts de pn contenus dans ]a, b[ et m1 , . . , mk leurs multiplicit´es respectives. On a m1 + . . + mk ≤ deg pn = n. Posons εi = 0 si mi est pair, εi = 1 si mi est impair, et k q(x) = (x − xi )εi , deg q ≤ k ≤ n. i=1 Le polynˆ ome pn q admet dans ]a, b[ les z´eros xi avec multiplicit´e paire mi + εi , donc pn q est de signe constant dans ]a, b[ \ {x1 , . . , xk }. Par cons´equent b pn , q = pn (x)q(x)w(x)dx = 0. a Comme pn est orthogonal a` Pn−1 , on a n´ecessairement deg q = n, donc k = n et m1 = .

Pour α > α0 , la suite (pn ) converge ponctuellement (et mˆeme uniform´ement) vers fα sur [−1, 1]. Pour α < α0 , on a le sch´ema suivant : y 2/e A(iα) A(x) 1/e −1 0 x 1 • Si A(x) < A(iα) (intervalle ouvert hachur´e), pn (x) converge vers fα (x). • Si x ∈ ] − 1, 1[ et A(x) ≥ A(iα), la suite (pn (x)) diverge comme on le voit `a l’aide du lemme suivant. Lemme – Pour tout n ∈ N∗ , max (nδn (x), (n + 1)δn+1 (x)) ≥ 1 min(1 + x, 1 − x) > 0. 2 39 II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques Il existe en effet des indices j, k tels que δn (x) = |x − xj,n | = x − −1+j· 2 n δn+1 (x) = |x − xk,n | = x − −1+k· 2 n+1 , .

Xn,n . Probl` eme – A quelle(s) condition(s) (portant sur la nature de la fonction f ur que pn converge uniform´ement et/ou le choix des points xi,n ) pourra-t-on ˆetre sˆ vers f quand n → +∞ ? Si l’on ne dispose d’aucune information sur la r´epartition des points xi,n , la meilleure majoration de πn+1 (x) dont on dispose a priori est n |πn+1 (x)| = |x − xi,n | ≤ (b − a)n+1 , i=0 ∀x ∈ [a, b], 31 II – Approximation polynomiale des fonctions num´ eriques u les points xi sont ´equidistants ou en majorant |x − xi,n | par b − a.

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Analyse numérique et équations différentielles by Demailly Jean-Pierre


by Paul
4.2

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